我不够爱你歌词|体积有限,表面积却无限大?认

作者:佚名   时间:2020-03-03 17:03

体积有限,表面积却无限大?认识神奇的“托里拆利小号”

日常生活中,我们接触到的物体,往往都具有固定的体积和表面积。如果说存在这样一种东西,它的体积是有限的,表面积却无限大,您会不会觉得不可思议。事实上这种东西真的存在,就是我们今天的主角:托里拆利小号。


就是那个发明气压计的托里拆利,其实他在数学方面也是有很高的成就,尤其是进一步发展了卡瓦列里的“不可分原理”,这也为牛顿莱布尼兹发明的微积分打下了坚实的基础。下面我们就来看下,他是怎么构造出来这个神奇的小号的。


其实构造的方法非常简单,我们先将一个反比例函数y=1/x的图像,将x=1左边的部分去掉只保留右边的部分,然后将剩下的曲线部分围绕x轴旋转一周就得到了这样一个小号。




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让我们来计算一下这个“小号”的体积,小号的体积可以视作无限个小圆柱体叠加,每个小圆柱体的体积为πy^2dx,非常简单的微积分知识就可以求得,:


可以看出在x趋向正无穷,这个小号的体积是有限的;我们再来计算一下它的表面积,小号的表面积可以视作无限个小圆环的面积叠加,每个小圆环的面积为2πydx,我们得到:


这样我们就计算出我们开始提到的那个神奇的结论:这个小号体积是有限的,表面积却是无限大的。这有悖于我们的直觉,因为如果要填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆,但把托里拆利小号的表面刷一遍,却需要无限多的油漆!


之所以会如此的反直觉,就是因为无限这个概念的引入。事实上,无限这个概念只是个数学的概念,在现实的物理环境中,并不存在真正的无限。在这个托里拆利小号的模型中,我们是假定小号的管壁无限薄,在x趋向正正版的欢乐炸金花无穷的时候,尽管小号的管径已经无限小了,但永远是不闭合的,所以才会产生这个看似违反常识的结论。其实,我们尝试对无限这个概念深入了解一下,就会发现,小号的表面积虽然无限大,但是并不代表刷满它需要无限多的油漆,也许我们用一滴油漆就足够,因为我们可以把油漆刷的无限薄,一滴油漆也是可以铺满无限大的面积的。


让我们跳出小号这个模型,再深入了解一下,小号的体积是三维的,表面积是二维的,实际上由低维的无限构成高维的有限,我们还可以构建非常多类似的模型:


1.点是0维的,无限多的点可以构成有限长度的线段。


2.给定的一个矩形,我们知道了长和宽之后,这个矩形的面积和周长都是固定的了,如果我们把这个长方形对边交错挖去一个小长条,就会得到一个新的图形,我们新得到的这个图形的面积肯定是小于这个矩形的,但是周长肯定要长很多的,如果我们将挖去的这个小长条的宽度变得无限窄,你会发现,得到的图形的面积是有限的,但是周长却无限大。


3.烤面筋这个美食大家都吃过,将一个面筋螺线切开之后,它的体积肯定是没有变化的和之前一样,但是这个时候表面积就比之前增加很多了。如果有个烧烤师傅手艺足够好,可以把面筋切的无限薄,你会发现,这个烤面筋体积固定,但是表面积却无限大,用再多的烧烤料也涂不满。


无限这个概念是非常重要的概念,是数学中处理问题的重要工具,之所以很多时候引入无限这个概念的时候我们觉得有悖常识,那是对它的了解还不够多。革命尚未成功,同志仍需努力!


打破砂锅,刨根问底,我是锅哥。


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